پاسخ فعالیت صفحه 39 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 39 ریاضی دهم - مسئله ۱ سلام! این فعالیت یک تمرین مهم برای درک **رابطه‌ی بنیادین مثلثات** (رابطه فیثاغورسی) و تعیین علامت‌ها در ربع‌های مختلف است. ### **تحلیل مسئله و پیدا کردن $\sin \theta$** ما از **رابطه‌ی اساسی مثلثات** استفاده می‌کنیم: $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$$ **گام ۱: جایگذاری $\cos \theta$** $$\sin^2 \theta + \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 1$$ $$\sin^2 \theta + \frac{2}{4} = 1$$ $$\sin^2 \theta + \frac{1}{2} = 1$$ **گام ۲: محاسبه $\sin^2 \theta$** $$\sin^2 \theta = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$ **گام ۳: تعیین $\sin \theta$ با توجه به ربع** $$\sin \theta = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$$ چون $\theta$ در **ربع سوم** قرار دارد، می‌دانیم که مقدار $\sin \theta = y$ باید **منفی** باشد (زیرا $y<0$ در ربع سوم). $$\sin \theta = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$ **تکمیل جای خالی:** $y = \sin \theta = \mathbf{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$ --- ### **بخش الف: مختصات نقطه‌ی $P$** مختصات نقطه‌ی $P$ روی دایره‌ی مثلثاتی به صورت $P(x, y)$ است که در آن $x = \cos \theta$ و $y = \sin \theta$. $$\text{مختصات } P = (\cos \theta, \sin \theta) = \mathbf{\left( -\frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$ --- ### **بخش ب: سایر نسبت‌های مثلثاتی** حالا با داشتن $\sin \theta$ و $\cos \theta$، می‌توانیم تانژانت و کتانژانت را حساب کنیم: 1. **تانژانت ($\tan \theta$):** $$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}} = \mathbf{1}$$ 2. **کتانژانت ($\cot \theta$):** $$\cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} = \frac{1}{1} = \mathbf{1}$$ **نکته‌ی جالب:** این زاویه همان زاویه‌ی $225^\circ$ است که زاویه‌ی مرجع $45^\circ$ دارد. چون در ربع سوم است، سینوس و کسینوس آن منفی، و تانژانت و کتانژانت آن مثبت شده‌اند.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 39 ریاضی دهم - مسئله ۲ این سوال مربوط به تعیین **ربع** یک زاویه بر اساس علامت نسبت‌های مثلثاتی آن است. ### **تحلیل علامت $\cos \alpha$** 1. **مقدار $\cos \alpha$:** مقدار $\cos \alpha = -\frac{2}{5}$ است. 2. **علامت $\cos \alpha$:** چون مقدار کسینوس **منفی** است. **مفهوم دایره‌ی مثلثاتی:** * $\cos \alpha = x$ * بنابراین، **مختصات $x$** نقطه‌ی انتهایی کمان زاویه $\alpha$ باید **منفی** باشد ($x < 0$). ### **تعیین ربع** مختصات $x$ (کسینوس) در دایره‌ی مثلثاتی در سمت **چپ** محور $y$ منفی است. این شرط تنها در **دو ربع** صدق می‌کند: * **ربع دوم (II):** که در آن $x<0$ و $y>0$ (کسینوس منفی و سینوس مثبت). * **ربع سوم (III):** که در آن $x<0$ و $y<0$ (کسینوس منفی و سینوس منفی). **نتیجه‌گیری:** اگر تنها $\cos \alpha = -\frac{2}{5}$ را داشته باشیم، نمی‌توانیم به طور قطع مشخص کنیم که $\alpha$ در کدام ربع است. زاویه‌ی $\alpha$ می‌تواند در **ربع دوم (II)** یا **ربع سوم (III)** قرار داشته باشد. * برای تعیین دقیق ربع، باید **علامت نسبت مثلثاتی دیگری** (مانند $\sin \alpha$ یا $\tan \alpha$) نیز مشخص شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام فعالیت صفحه 39 ریاضی دهم - مسئله ۳ این سوال دوباره بر پایه‌ی درک شما از **علامت‌ها در نواحی چهارگانه** است. ### **تحلیل شرط‌های علامت** 1. **سینوس منفی:** $\sin \theta = y < 0$. این شرط یعنی نقطه‌ی انتهایی کمان باید **زیر** محور $x$ باشد. (ربع‌های سوم و چهارم) 2. **کسینوس مثبت:** $\cos \theta = x > 0$. این شرط یعنی نقطه‌ی انتهایی کمان باید در سمت **راست** محور $y$ باشد. (ربع‌های اول و چهارم) **اشتراک ربع‌ها:** تنها ربعی که در آن هر دو شرط ($y<0$ و $x>0$) برقرار است، **ربع چهارم (IV)** است. ### **مثال زدن یک زاویه در ربع چهارم** یک زاویه در ربع چهارم، زاویه‌ای بین $270^\circ$ و $360^\circ$ است (یا بین $-90^\circ$ و $0^\circ$). **ساده‌ترین مثال:** * **زاویه‌ی $300^\circ$:** این زاویه در ربع چهارم است ($270^\circ < 300^\circ < 360^\circ$). **بررسی صحت مثال:** * $\sin 300^\circ = -\sin 60^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ (منفی) * $\cos 300^\circ = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$ (مثبت) **مثال‌های دیگر:** * **زاویه‌ی $-45^\circ$** (معادل $315^\circ$) * **زاویه‌ی $350^\circ$** **پاسخ نهایی:** یک مثال از زاویه مورد نظر، $\mathbf{300^\circ}$ است. (یا هر زاویه‌ای بین $270^\circ$ و $360^\circ$).